Транспонирование матрицы, умножение, возведение в степень

Как мы выяснили в предыдущей статье, с матрицами можно выполнять различные простые операции, такие как сложение, вычитание, умножение и т.д. Они называются простыми, поскольку имеют аналогии с операциями над обычными числами.

Но существуют и такие операции как транспонирование матрицы, произведение двух матриц и возведение матрицы в степень. Они уже имеют свой уникальный алгоритм действий, который мы сейчас разберем.

Итак, приступим к практике.

1. Транспонирование матрицы

Простым языком – это переворачивание матрицы, то есть первая строка превращается в первый столбец, вторая строка превращается во второй столбец, третья строка превращается в третий столбец и так далее.

Пример

Пусть дана матрица размером 4x3:

Транспонируем матрицу:

2. Произведение матриц

Рассмотрим такое произведение матриц:

ВАЖНО! Матрицы должны быть согласованными, то есть число столбцов в первой матрице А_3х3 должно совпадать с числом строк во второй матрице B_3х2. Если этого не происходит, значит провести умножение матриц невозможно.

2.1. Первым делом нам необходимо выяснить размер матрицы C. Для этого мы берем количество строк А_3х3 и количество столбцов B_3х2 и получаем, что матрица будет состоять из 3 строк на 2 столбцов.

2.2. Далее необходимо вычислить каждый элемент матрицы C. Для этого мы обращаем внимание на индекс каждого элемента. Первый индекс числа c₁₁ отвечает за номер строки в первой матрице, а второй индекс (c₁₁) отвечает за номер столбца во второй матрице.

Исходя из этой информации, необходимо вычислить сумму произведений всех элементов в соответствующих сроках и столбцах.

2.3. Аналогично получаем остальные элементы:

Примечание

Необходимо помнить ПРАВИЛО, что A*B≠B*A. Это равенство будет выполняться только в том случае, если матрицы A и B являются перестановочными.

3. Возведение матрицы в степень

Для этого необходимо умножать матрицу на саму себя то число раз, которое указано в степени.

Пример

Теперь произведем вычисления:

Умножение происходит по алгоритму, описанному выше.

Можно заметить, что количество вычислений становится все больше и больше, поэтому советуем всегда перепроверять полученный результат.