Транспонирование матрицы, умножение, возведение в степень

Как мы выяснили в предыдущей статье, с матрицами можно выполнять различные простые операции, такие как сложение, вычитание, умножение и т.д. Они называются простыми, поскольку имеют аналогии с операциями над обычными числами.

Но существуют и такие операции как транспонирование матрицы, произведение двух матриц и возведение матрицы в степень. Они уже имеют свой уникальный алгоритм действий, который мы сейчас разберем.

Итак, приступим к практике.

1. Транспонирование матрицы

Простым языком – это переворачивание матрицы, то есть первая строка превращается в первый столбец, вторая строка превращается во второй столбец, третья строка превращается в третий столбец и так далее.

Пример

Пусть дана матрица размером 4x3:

Транспонирование матрицы, умножение, возведение в степень. Примеры с подробным описанием решения.

Транспонируем матрицу:

Транспонирование матрицы, умножение, возведение в степень. Примеры с подробным описанием решения.

2. Произведение матриц

Рассмотрим такое произведение матриц:

Транспонирование матрицы, умножение, возведение в степень. Примеры с подробным описанием решения.

ВАЖНО! Матрицы должны быть согласованными, то есть число столбцов в первой матрице А3 должно совпадать с числом строк во второй матрице B3х2. Если этого не происходит, значит провести умножение матриц невозможно.

2.1. Первым делом нам необходимо выяснить размер матрицы C. Для этого мы берем количество строк А3 и количество столбцов B3х2 и получаем, что матрица будет состоять из 3 строк на 2 столбцов.

Транспонирование матрицы, умножение, возведение в степень. Примеры с подробным описанием решения.

2.2. Далее необходимо вычислить каждый элемент матрицы C. Для этого мы обращаем внимание на индекс каждого элемента. Первый индекс числа c11 отвечает за номер строки в первой матрице, а второй индекс (c11) отвечает за номер столбца во второй матрице.

Исходя из этой информации, необходимо вычислить сумму произведений всех элементов в соответствующих сроках и столбцах.

Транспонирование матрицы, умножение, возведение в степень. Примеры с подробным описанием решения.

2.3. Аналогично получаем остальные элементы:

Транспонирование матрицы, умножение, возведение в степень. Примеры с подробным описанием решения.

Ответ:

Транспонирование матрицы, умножение, возведение в степень. Примеры с подробным описанием решения.

Примечание

Необходимо помнить ПРАВИЛО, что A*B≠B*A. Это равенство будет выполняться только в том случае, если матрицы A и B являются перестановочными.

3. Возведение матрицы в степень

Для этого необходимо умножать матрицу на саму себя то число раз, которое указано в степени.

Пример

Транспонирование матрицы, умножение, возведение в степень. Примеры с подробным описанием решения.

Теперь произведем вычисления:

Транспонирование матрицы, умножение, возведение в степень. Примеры с подробным описанием решения.

Умножение происходит по алгоритму, описанному выше.

Можно заметить, что количество вычислений становится все больше и больше, поэтому советуем всегда перепроверять полученный результат.

Изучаем матрицы

Что такое матрицы, откуда они взялись, и чем они полезны?

Пять основных операций над матрицами

Транспонирование матрицы, умножение, возведение в степень

Способы вычисления определителя матрицы

Как решать матрицы методом Крамера за пять простых шагов

Алгоритм вычисления обратной матрицы

Альтернативный способ нахождения обратной матрицы