Что такое предел? Понятие предела
Все без исключения где-то в глубине души понимают, что такое предел, но как только слышат «предел функции» или «предел последовательности», то возникает легкая растерянность.
Не волнуйтесь, это всего лишь от незнаний! Через 3 минуты прочтения ниженаписанного, вы станете грамотнее.
Важно раз и навсегда понять, что имеют в виду, когда говорят о каких-то предельных положениях, значениях, ситуациях и вообще, когда по жизни прибегают к термину предела.
Взрослые люди это понимает интуитивно, а мы разберем на нескольких примерах.
Пример первый
Вспомним строки из песни группы «Чайф»: «… не доводи до предела, до предела не доводи …».
В данном случае по задумке автора предельная ситуацию в отношениях между людьми – это расставание.
Автор как бы предупреждает, что в результате последовательности конкретных действий мы придем к конкретному результату – расставанию.
Пример второй
Наверняка вы слышали фразу о предельно устойчивом положении предмета в пространстве.
Вы сами можете без труда смоделировать такую ситуацию с подручными вещами.
Например, слегка наклоните пластиковую бутылку и отпустите её. Она обратно встанет на днище.
Но есть такие предельные наклонные положения, за границами которых она просто упадет.
Опять же предельное положение в данном случае — это нечто конкретное. Важно это понимать.
Можно много приводить примеров использования термина предела: предел человеческих возможностей, предел прочности материала и так далее.
Ну а с беспределами так вообще каждый день сталкиваемся)))
Но сейчас нас интересуют предел последовательности и предел функции в математике.
Предел числовой последовательности в математике
Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. На понятии предельного перехода базируются сотни и сотни теорем, определяющие современную науку.
Сразу конкретный пример для наглядности.
Допустим есть бесконечная последовательность чисел, каждое из которых в два раза меньше предыдущего, начиная с единицы: 1, ½, ¼, ...
Так вот предел числовой последовательности (если он существует) – это какое-то конкретное значение.
В процессе деления пополам каждое последующее значение последовательности неограниченно приближается к определенному числу.
Несложно догадаться, что это будет ноль.
Важно!
Когда мы говорим о существовании предела (предельного значения), это не значит, что какой-то член последовательности будет равен этому предельному значению. Он может лишь только стремиться к нему.
Из нашего примера это более чем понятно. Сколько бы раз мы не делили единицу на два, мы никогда не получим ноль. Будет лишь число в два раза меньше предыдущего, но никак не ноль!
Предел функции в математике
В математическом анализе безусловно самое важное – это понятие предела функции.
Не углубляясь в теорию, скажем следующее: предельное значение функции не всегда может принадлежать области значений самой функции.
При изменении аргумента, функция будет стремиться к какому-то значению, но может его не принять никогда.
Например, гипербола 1/x не имеет значения ноль ни в какой точке, но она неограниченно стремится к нулю при стремлении x к бесконечности.
Калькулятор пределов
Нашей целью не является дать вам какие-то теоретические знания, для этого есть куча умных толстых книжек.
Но мы предлагаем вам воспользоваться онлайн калькулятором пределов, с помощью которого сможете сравнить ваше решение с правильным ответом.
Помимо всего, калькулятор выдает пошаговое решение пределов, применяя зачастую правило Лопиталя с использованием дифференцирования числителя и знаменателя непрерывной в точке или на некотором отрезке функции.