Квадратное уравнение

=

Решение квадратных уравнений

Как бы кто ни говорил, но тема квадратных уравнений – это база всей школьной программы. Читая дальше, вы поймете почему.

Решая линейные уравнения, требуется лишь навык применения арифметических операций. Даже решать систему линейных уравнений несложно, все сводится к сложению, вычитанию или раскрытию скобок, когда подставляем одно уравнение в другое. И так далее.

Иное дело, когда возрастает старшая степень неизвестной переменной, и первый вид таких уравнений как раз называется квадратным уравнением, когда неизвестная переменная представлена во второй степени.

Есть прямая связь квадратных уравнений с тем, что мы можем наблюдать вокруг нас. Тема квадратных уравнений легкая, но очень важная и требует полного изучения, однако, этим пренебрегают ученики, да и учителя тоже.

Например, полет снаряда, выпущенного из орудия, летит по траектории, описываемой квадратным уравнением, и называется параболой. Парабола имеет вершину и две ветви, расположенные зеркально, что напоминает подкову.

Где встречаются квадратные уравнения

На практике квадратные уравнения встречаются практически во всех сферах жизненной деятельности человека, от науки до искусства. В школьной программе обязательно в алгебре, геометрии со стереометрией, тригонометрии, при упрощении выражений и так далее. Разумеется, не только в математике. В химии, физике, экономике, биологии и других науках без квадратных уравнений никак не обойтись.

Более того, в некоторых задачах необходимо оперировать со значениями, являющимися корнями квадратного уравнения, и опять-таки требуется находить корни. Если нахождение корней квадратного уравнения является промежуточным действием, например, необходимо использовать только сумму корней или их произведение, то глядя на уравнение, это сразу видно. Но опять же это нужно знать!

График квадратного уравнения

Как вы уже знаете графиком квадратного уравнения является парабола. По виду уравнения можно легко определить расположение ее вершины и направление ветвей относительно системы координат.

Парабола может либо пересекать ось абсцисс (в одной или двух точках), либо не пересекать ее. Во втором случае говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных решений (корней). Если же график параболы пересекает ось абсцисс, то корней два или один как минимум.

Запомните! У квадратного уравнения всегда имеются либо два разных, либо один кратности два корень, потому что уравнение второй степени. В том случае, когда корни не принадлежат полю действительных чисел, они находятся в поле комплексных чисел. Если вы еще не слышали про комплексные числа, просто примите это к сведению.

Что такое дискриминант

Общий вид квадратного уравнения следующий:

a*x2 + b*x + c = 0

Умножим обе части уравнения на 4*a, прибавим b2 к обеим частям и применим формулу сокращенного умножения «квадрат суммы». Перенесем 4*a*c в правую часть уравнения. В результате получим:

(2*a*x + b)2 = b2 – 4*a*c

Отсюда очевидно, что при b2 – 4*a*c < 0 действительных корней нет, потому что нет такого числа, которое в квадрате давало бы отрицательное.

При b2 – 4*a*c = 0 только один кратный корень.

И третий случай, при b2 – 4*a*c > 0 уравнение имеет два разных корня.

Рассмотрим последний случай, когда уравнение имеет два разных корня x1 и x2. Соответственно график параболы пересекает ось X в двух разных точках.

Координата вершины параболы определяется значением x = –b/2a.

Так как график параболы симметричен, то оба корня равноудалены от линии, проходящей через ее вершину.

Отсюда очевидно, что чем больше значение дискриминанта, тем дальше друг от друга располагаются корни уравнения. В этом заключается геометрический смысл дискриминанта.

Другими словами, значение дискриминанта напрямую указывает на удаленность корней уравнения друг от друга на числовой оси.

Так вот, удаленность корней друг от друга и называются дискриминантом, а формула, которую дают в школе под соусом «дискриминант», всего лишь выражает этот факт.

Как найти корни квадратного уравнения

Самое интересное это поиск корней уравнения. Есть несколько методов их нахождения, перечислим более известные.

1. Первый из них, самый известный всем школьникам, описанный выше, – это поиск по формуле квадратного уравнения, используя значение дискриминанта.

2. Принято отдельно считать метод выделения полного квадрата. Но как мы видели из поиска дискриминанта, это вытекает из первого способа.

3. Другой популярный способ – это разложение уравнения на множители, когда его приводят к виду (x+A)*(x+B)=0. Частный случай такого уравнения x*(x+A)=0 с нулевым корнем.

4. Еще один не менее важный способ – графический. В этом методе исследуют график параболы и находят ее пересечение с осями координат.

5. Очень удобный способ определения корней квадратного уравнения и часто применяемый в практических задачах – применение теоремы Виета.

Рассмотрим пример определения корней по теореме Виета

Пусть дано уравнение x2 - 5 x + 6 = 0

Согласно этой теореме, сумма корней есть коэффициент перед x, но с противоположным знаком, а произведение корней – это значение свободного члена квадратного уравнения.

Очевидно, что x1=2, а x2=3, так как x1+x2=2+3=5, а x1*x2=2*3=6

Калькулятор решения квадратных уравнений

С нашим калькуляторе вы без проблем решите любое квадратное уравнение онлайн. Он полезен как для самопроверки, таки и для изучения этой темы, поскольку пошагово покажет весь ход решения до определения корней.

В калькуляторе предусмотрены различные варианты решения квадратного уравнения. Это по формуле через дискриминант, с помощью выделения полного квадрата и методом разложения на множители.

Каждый способ решения хорош по-своему, а главное помогает школьникам лучше усвоить столь важную тему как решение квадратных уравнений.

Желаем успехов!