Как решать матрицы методом Крамера за пять простых шагов

Если вы студент младших курсов, то вы наверняка встречались с такими понятиями как матрица и СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений).

На вопрос «Что такое матрицы и откуда они взялись?» мы ответили в этой статье. А сейчас постараемся вам максимально просто и наглядно объяснить, как именно решать эти системы.

И первый способ, который мы разберем – это метод Крамера, названного в честь своего создателя Габриэля Крамера. О короткой, но насыщенной жизни этого ученого вы можете прочитать на нашем сайте.

Перейдем сразу же к практике. Пусть необходимо решить следующую систему уравнений:

Как решать матрицы методом Крамера за пять простых шагов. Пример задачи с подробным решением.

Шаг 1

Мы должны выделить все числа, которые присутствуют в данной системе (для наглядности мы выделили их разными цветами). Всего их должно быть двенадцать – по четыре в каждой строке. Если у неизвестного нет своего числа, ставим «1».

Как решать матрицы методом Крамера за пять простых шагов. Пример задачи с подробным решением.

Шаг 2

Выписываем первые три столбца в матрицу. Количество матриц в решении всегда на одну больше, чем количество уравнений, входящих в систему, т.е. в данном случае нам понадобится 4 матрицы:

Как решать матрицы методом Крамера за пять простых шагов. Пример задачи с подробным решением.

Шаг 3

Теперь мы должны вычислить основной определитель системы.
Обо всех способах вычисления определителя матрицы вы можете узнать здесь.

Как решать матрицы методом Крамера за пять простых шагов. Пример задачи с подробным решением.

Внимание!

Если вы получили Δ=0, значит:

Система не имеет решений (при Δx≠0, Δy≠0, Δz≠0, ... Δn≠0);
Система имеет бесконечное множество решений (при Δx=0, Δy=0, Δz=0, ... Δn=0).

Шаг 4

Теперь нам необходимо вычислить определители для x, y, z.

4.1. Найдем определитель Δx. Для этого подставим вместо красного (первого) столбца желтый столбец свободных членов:

Как решать матрицы методом Крамера за пять простых шагов. Пример задачи с подробным решением.

4.2. Найдем определитель Δy. Для этого подставим вместо синего (второго) столбца желтый столбец свободных членов:

Как решать матрицы методом Крамера за пять простых шагов. Пример задачи с подробным решением.

4.3. Найдем определитель Δz. Для этого подставим вместо зеленого (третьего) столбца желтый столбец свободных членов:

Как решать матрицы методом Крамера за пять простых шагов. Пример задачи с подробным решением.

Шаг 5

Далее попеременно делим Δx, Δy, Δz на Δ и, таким образом, находим решение заданной системы:

Как решать матрицы методом Крамера за пять простых шагов. Пример задачи с подробным решением.

Для проверки достаточно подставить полученные числа в систему и доказать равенство всех частей.

Изучаем матрицы

Что такое матрицы, откуда они взялись, и чем они полезны?

Пять основных операций над матрицами

Транспонирование матрицы, умножение, возведение в степень

Способы вычисления определителя матрицы

Как решать матрицы методом Крамера за пять простых шагов

Алгоритм вычисления обратной матрицы

Альтернативный способ нахождения обратной матрицы