Не так страшна матрица, как обратная ей. Шутка!
Мы разобрали почти все операции, которые можно проводить с матрицами. Осталось самое сложное из этого списка – нахождение обратной матрицы.
Как правило, обратная матрица обозначается A-1 (не путать со степенью числа).
Хорошая новость 1
Понятие A-1 вводится только для квадратных матриц.
Хорошая новость 2
Если определитель матрицы равен нулю, то обратной для неё матрицы не существует.
Теперь непосредственно приступим к делу.
Определение
Матрица A-1 является обратной к матрице A, если выполняется следующее равенство:
Здесь E – это единичная матрица.
Формула нахождения алгебраического дополнения
Здесь Mij – минор (его рассмотрим ниже)
Формула нахождения обратной матрицы
Здесь AT – матрица, составленная из алгебраических дополнений.
Приступаем к практике
Пусть требуется найти обратную матрицу для матрицы A:
Шаг 1
Первым делом ищем определитель матрицы A:
Шаг 2
Определитель матрицы не равен нулю. Теперь можно искать алгебраические дополнения с помощью формулы, указанной выше.
Для того чтобы найти Mij, необходимо у матрицы A исключить строку и столбец, номер которых указан в индексе, а затем у получившейся матрицы нужно вычислить определитель. Это и будет являться минором.
Аналогично вычисляются остальные значения:
Шаг 3
Далее нужно записать транспонированную матрицу AT из вычисленных алгебраических дополнений:
Шаг 4
Теперь необходимо подставить все найденные элементы в формулу нахождения обратной матрицы:
Проверка
Даже если вы уверены в своем ответе, советуем сделать проверку и перемножить матрицы A и A-1.
Исходя из определения, ответом будет являться единичная матрица.
Ответ
