Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

В данной статье мы продолжим знакомиться с решениями СЛАУ методом Гаусса.

Теперь мы рассмотрим пример решения матрицы четвёртого порядка, то есть системы уравнений, состоящей из четырёх неизвестных.

Если вы ещё не знаете, как решать этим методом матрицы третьего порядка, то вам необходимо обязательно прочитать эту статью. В ней мы изложили суть данного метода и подробным образом расписали решение подобного задания.

Для того чтобы решить матрицу четвёртого порядка, мы должны воспользоваться тем же алгоритмом решения, что и для матриц третьего порядка.

Необходимо постепенно трансформировать начальную матрицу путём элементарных преобразований с целью получения единичной матрицы из первых четырёх столбцов, в то время как в пятом столбце свободных членов мы получим значения x, y, z, c соответственно. Приступим к практике.

Подробный пример

Дана система уравнений:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

1. Составим матрицу:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

2. Преобразуем матрицу:

2.1. Из второй строки вычитаем первую строку:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

2.2. Из третьей строки вычитаем первую строку, умноженную на 3:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

2.3. Из четвертой строки вычитаем первую строку, умноженную на 2:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

2.4. Из четвертой строки вычитаем вторую строку:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

2.5. Прибавляем к третьей строке вторую строку, умноженную на 4:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

2.6. Делим третью строку на -3:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

2.7. Прибавляем к четвертой строке третью строку, умноженную на 6:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

2.8. Делим четвертую строку на 51:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

2.9. Вычитаем из первой строки вторую строку:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

2.10. Вычитаем из первой строки третью строку:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

2.11. Вычитаем из второй строки третью строку:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

2.12. Вычитаем из третьей строки четвертую строку, умноженную на 9:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

2.13. Прибавляем к первой строке четвертую строку, умноженную на 13:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

2.14. Прибавляем к первой строке четвертую строку, умноженную на 2:

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса

Ответ

x = -1, y = 1, z = 0, c = 1

Можете заметить, решение матриц четвёртого порядка является достаточно простым и понятным, если расписывать каждое действие по отдельности. Промежуточные действия можете делать на черновике.

Однако есть вероятность допущения арифметических ошибок. В этих случаях советуем пользоваться калькулятором.

Изучаем матрицы

Что такое матрицы, откуда они взялись, и чем они полезны?

Пять основных операций над матрицами

Транспонирование матрицы, умножение, возведение в степень

Способы вычисления определителя матрицы

Алгоритм вычисления обратной матрицы

Альтернативный способ нахождения обратной матрицы

Как решать СЛАУ методом Крамера за пять простых шагов

Решение СЛАУ методом Гаусса

Альтернативный способ решения СЛАУ методом Гаусса

Решение СЛАУ 4-го порядка методом Гаусса