Производная сложной функции

Производная сложной функции

Чтобы приступить к изучению данного вопроса, вы должны знать таблицу производных и выучить правила дифференцирования.

Сложной функцией называется функция вида g(f(x)). Давайте разберем что эта запись означает?

Известно, что f(x) — это некая функция (закон). Аналогично, g(x) — тоже функция.

В свою очередь, функцию вида g(f(x)) называют сложной функцией, и аргументом этой функции является значение функции f(x).

Областью определения функции g(f(x)) является область значений функции f(x).

Если положить, что f(x)=x, то функция g примет вид простой функции: g(f(x))=g(x).

Правило

Для вычисления производной сложной функции применяется следующее правило:

Производная сложной функции

Сначала вычисляется производная от функции g, как если бы она была простой функцией, потом вычисляется производная от функции f(x) и результатом записывается умножение этих двух производных.

Если положить, что f(x) = x, то производная от функция g(f(x)) примет вид:

Производная сложной функции

За такой, казалось бы, небольшой теорией как найти производную сложной функции, больше похожей на инструкцию к применению, кроется огромный практический курс в силу того, что даже самые простые на вид сложные функции вызывают трудности среди учащихся, когда требуется их просто продифференцировать.

Чтобы научиться быстро дифференцировать сложные функции, необходимо на отлично уметь вычислять производные от простых функций.

Пример 1
Производная сложной функции

Пример 2
Производная сложной функции

Пример 3
Производная сложной функции

Пример 4
Производная сложной функции

Пример 5
Производная сложной функции

Если вы прочли все предыдущие статьи на тему прозводных и усвоили данный материал, считайте, что с практической частью вы справитесь.

Добавим только, что на нашем сайте есть разобранные примеры реальных задач, которые встречаютcя студентам на практике.

Статьи о производной
➤ Что такое производная? Понятие производной
➤ Геометрический смысл производной
➤ Физический смысл производной
➤ Обобщённая таблица производных
➤ Как найти производную? Правила дифференцирования
➤ Производная сложной функции
➤ Что такое дифференциал функции?