Разобравшись в геометрическом смысле производной, сформулированном Лейбницем, можно приступать к изучению производной в физическом её значении.
Мы уже говорили, что заслуга этого вопроса полностью принадлежит гениальному учёному Исааку Ньютону, который в частности исследовал законы движения материальных тел.
Итак, для того чтобы понять физический смысл производной, необходимо рассмотреть движение точки в пространстве.
Представим, что точка движется по какой-то траектории на плоскости и пройденное расстояние конечно же зависит от времени S=S(t).
При этом средняя скорость за определённый отрезок времени будет равняться расстоянию, пройденному точкой за это время, делённому на время.
● Кстати, по этой формуле определяют среднюю скорость автомобиля, когда он проезжает участок между двух камер фиксации движения, и если она превышает допустимое значение, то соответственно выписывают штраф.
Возникает вопрос, а как охарактеризовать движение точки в определённый момент времени?
Для этого зафиксируем некоторый момент времени t0 и рассмотрим следующий за ним бесконечно малый временной интервал длительностью Δt.
По сути, мы опять рассматриваем положение точки в два момента времени: S(t0) и S(t0+Δt).
При бесконечно малом временном интервале Δt можно считать движение точки прямолинейным и использовать ту же формулу расчёта средней скорости, приведённую выше Vср=S/T.
Как вы наверно догадались, устремим Δt→0. В результате этой операции получим ни что иное, как значение скорости точки в момент времени t0. Другими словами, это мгновенная скорость точки в конкретный момент времени t0.
Таким образом, физический смысл производной заключается в следующем: если положение точки при её движении по числовой прямой задаётся функцией S = S(t), где t – время движения, то производная функции S – это мгновенная скорость движения в момент времени t.
Такой физический смысл производной позволяет использовать данную характеристику для решения различных задач в области физики, а именно:
● Для вычисления скорости при известной зависимости координаты от времени (первая производная от S(t))
● Для определения ускорения на основе графика зависимости скорости от времени (первая производная от V(t), или вторая производная от S(t))
● При заданном законе движения материальной точки по окружности, производная позволяет вычислить угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении
● При известном законе распределения массы неоднородного стержня дифференцирование позволяет рассчитать линейную плотность неоднородного стержня
● С использованием производной возможно решать задачи по теории упругости и гармонических колебаний
Производная позволяет решить гораздо больше поставленных задач, чем мы приводим для примеров, в этом вы сами убедитесь в будущем.
Итак, изучив понятие производной и усвоив её значение в физическом и геометрическом смысле, можно переходить к более конкретному вопросу, а именно как найти производную?
Но перед этим необходимо забежать чуть вперёд и рассмотреть таблицу производных. Мы объясним для чего её нужно изучить именно на этом этапе.
Итак, переходим к обобщённой таблице производных