Физический смысл производной

Физический смысл производной

Разобравшись в геометрическом смысле производной, сформулированном Лейбницем, можно приступать к изучению производной в физическом её значении.

Мы уже говорили, что заслуга этого вопроса полностью принадлежит гениальному учёному Исааку Ньютону, который в частности исследовал законы движения материальных тел.

Итак, для того чтобы понять физический смысл производной, необходимо рассмотреть движение точки в пространстве.

Представим, что точка движется по какой-то траектории на плоскости и пройденное расстояние конечно же зависит от времени S=S(t).

При этом средняя скорость за определённый отрезок времени будет равняться расстоянию, пройденному точкой за это время, делённому на время.

Физический смысл производной

Кстати, по этой формуле определяют среднюю скорость автомобиля, когда он проезжает участок между двух камер фиксации движения, и если она превышает допустимое значение, то соответственно выписывают штраф.

Возникает вопрос, а как охарактеризовать движение точки в определённый момент времени?

Для этого зафиксируем некоторый момент времени t0 и рассмотрим следующий за ним бесконечно малый временной интервал длительностью Δt.

По сути, мы опять рассматриваем положение точки в два момента времени: S(t0) и S(t0+Δt).

При бесконечно малом временном интервале Δt можно считать движение точки прямолинейным и использовать ту же формулу расчёта средней скорости, приведённую выше Vср=S/T.

Как вы наверно догадались, устремим Δt→0. В результате этой операции получим ни что иное, как значение скорости точки в момент времени t0. Другими словами, это мгновенная скорость точки в конкретный момент времени t0.

Физический смысл производной

Таким образом, физический смысл производной заключается в следующем: если положение точки при её движении по числовой прямой задаётся функцией S = S(t), где t – время движения, то производная функции S – это мгновенная скорость движения в момент времени t.

Такой физический смысл производной позволяет использовать данную характеристику для решения различных задач в области физики, а именно:

Для вычисления скорости при известной зависимости координаты от времени (первая производная от S(t))
Для определения ускорения на основе графика зависимости скорости от времени (первая производная от V(t), или вторая производная от S(t))
При заданном законе движения материальной точки по окружности, производная позволяет вычислить угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении
При известном законе распределения массы неоднородного стержня дифференцирование позволяет рассчитать линейную плотность неоднородного стержня
С использованием производной возможно решать задачи по теории упругости и гармонических колебаний

Производная позволяет решить гораздо больше поставленных задач, чем мы приводим для примеров, в этом вы сами убедитесь в будущем.

Итак, изучив понятие производной и усвоив её значение в физическом и геометрическом смысле, можно переходить к более конкретному вопросу, а именно как найти производную?

Но перед этим необходимо забежать чуть вперёд и рассмотреть таблицу производных. Мы объясним для чего её нужно изучить именно на этом этапе.

Итак, переходим к обобщённой таблице производных.

Другие статьи
➤ Что такое производная? Понятие производной
➤ Геометрический смысл производной
➤ Физический смысл производной
➤ Что такое дифференциал функции?