Параллельно с Ньютоном, который исследовал физические процессы и пришёл к пониманию о производной своим путём, Лейбниц ввёл определение производной через геометрию.
Для того чтобы разобраться в чём заключается геометрический смысл производной, обратимся к вышеприведённому схематическому рисунку. На нём изображён график функции y=f(x).
Обозначим через P точку, которой соответствует значение функции в точке x0.
Проведём некоторую секущую через точки P и P1. Угол наклона между положительным направлением оси X и этой секущей обозначим через β.
В результате получился прямоугольный треугольник с катетами Δx и Δy. Здесь Δx — это приращение аргумента функции, а Δy — приращение самой функции.
Отношение приращения функции к приращению аргумента есть тангенс угла между секущей и положительным направлением оси абсцисс.
Если устремить Δx→0, то точка P1 на графике будет приближаться к точке P, а секущая - менять своё положение относительно графика.
Предельным положением секущей при стремящемся к нулю приращению будет прямая, в которой точки P и P1 совпадут друг с другом. Такая прямая называется касательной к графику в точке P.
● Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке численно равно тангенсу угла наклона касательной к функции в этой точке.
Известно, что уравнение любой прямой имеет такой общий вид: y=k*x+b. Так вот в уравнении касательной к функции в точке P коэффициент k как раз равен значению производной в точке x0
На практике часто встречаются задачи на применение геометрического смысла производной. Например, одна из таких задач — это исследование графика функции по заданному графику производной от этой функции.
Прикладные задачи на производную зачастую связаны с физическим понятием производной