Прежде, чем ответить на вопрос как найти производную, необходимо понять что такое производная и, главное, зачем она нужна?
Так вот, производная функции очень важное понятие в науке и имеет огромное значение в прикладных задачах. Говоря о производной, имеют в виду скорость изменения чего-либо, например, движения материальной точки, или скорость распада химических элементов.
Запомните, везде, где протекают неравномерные процессы, производная помогает успешно изучать эти самые процессы.
К слову, с помощью производной решаются задачи оптимизации. Например, оптимизация процессов с целью извлечь максимальную прибыль, или затратить наименьшее количество ресурсов.
С появлением производной стало возможным объяснить научным языком законы природы. Да что там законы природы, производная реально помогает сэкономить деньги. Вы спросите как? Время придёт — увидите!
Немного конкретики
Производная от функции есть новая функция, которая получается по конкретному правилу. Процесс поиска производной называется дифференцированием функции.
Такие термины как найти производную, решить производную, вычислить производную, взять производную, продифференцировать функцию — означают одно и то же.
Еще раз повторим, чтобы найти производную от функции, необходимо эту функцию продифференцировать.
Чтобы безошибочно решать производные, нужно запомнить табличные производные, знать правила дифференцирования и научиться применять их в соответствующих случаях.
И тут возникает резонный вопрос. А как конкретно вычислять производные? По каким таким правилам нужно дифференцировать?
Давайте построим логическую цепочку. С английского языка слово difference переводится как разность. А вот и сама формула для определения производной:
Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.
Теперь понятно почему процесс поиска производной носит название дифференцирование функции (от слова difference).
Очень важным моментом в понимании производной является то, что производная определяется в некоторой точке области определения функции. Запомните это!
Функцию, имеющую конечную производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в данной точке, то есть путем операции дифференцирования, можно получить производную для исходной функции.
Историческая справка
Открытие производной принято считать заслугой Исаака Ньютона. В конце XVII века он установил зависимость скорости от времени и расстояния по следующей формуле: V(t)=S’(t). В этом заключается физический смысл производной
Ученый обнаружил, что подобная взаимосвязь присутствует между множеством различных количественных характеристик, исследуемых физикой, биологией, географией, химией и другими науками.
Наравне с Ньютоном часть открытия основных законов математического анализа принадлежит немецкому математику Лейбницу.
К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной
Сам термин производная и современные обозначения y’, f’ ввёл Лагранж уже только в 1797 году, спустя столетие с момента ее «зарождения».
Применение производной
Вычисление производной функции необходимо для решения множества разнообразных задач. Такие задачи используют в своей работе представители различных профессий:
Инженеры-технологи. Деятельность таких специалистов связана с необходимостью организации производства таким образом, чтобы получить возможность выпуска максимально возможного объема продукции.
Конструкторы. При разработке деталей высокоточных механизмов важно правильно рассчитать их массу и другие параметры.
Экономисты. Область деятельности таких специалистов связана с проведением расчетов на транспортные и прочие расходы организации. С помощью специальных формул профессионалы проводят вычисления с целью минимизировать затраты.
Вычисление производных широко используется в различных дисциплинах.
Производная в алгебре
В математике дифференциальное исчисление используется при решении следующих видов задач:
● Построение касательной к графику функции
● Поиск промежутков возрастания и убывания функции
● Поиск точек экстремума функции
● Поиск промежутков выпуклости и вогнутости графика функции
● Поиск точек изгиба функции
Производная в физике
В физике также широко применяется вычисление производных. Чаще всего это необходимо для нахождения следующих величин:
● Скорость (находится как производная от расстояния)
● Ускорение (производная скорости)
● Скорость распада радиоактивных элементов
● Скорость материальной точки
● Мгновенная скорость
Производная в химии
В химии дифференциальное исчисление используется для построения математических моделей химических взаимодействий и изучения их свойств.
При помощи производной можно вычислить скорость химической реакции. Этот показатель является одним из важнейших при решении различных задач и вычислении множества параметров.
Также производная необходима для вычисления следующих величин:
● Количество вещества в момент времени
● Интервал времени
● Изменение количества вещества
● Средняя скорость химической реакции
Производная в других науках
В биологии дифференциальное исчисление используется при изучении популяций.
В географии производные позволяют получить следующие данные:
● Некоторые сейсмографические величины
● Особенности электромагнитного поля местности
● Уровень радиоактивности ядерных и геофизических показателей
● Различные показатели в экономической географии
● Формула расчета численности населения на территории в определенный момент времени
Также дифференциальное исчисление используется для решения различных задач в экономике, электротехнике и многих других дисциплинах.
Теперь вы знаете что такое производная функции и откуда она взяла свои истоки.
Далее объясним в чём заключается геометрический смысл производной?